DIP_review_2_4

DIP_review_2_4 - Wavelet and Other Image Transforms

1 Unitary transform 酉变换(找到合适的基函数(完备正交基)去压缩数据，且满足能量守恒定律)

• 前向变换 $t = Af \\ t[k] = \sum_{n = 0}^{N-1}A[k,n]f[n]$
• 逆向变换 $f = A^Ht \\ f[n] = \sum_{k=0}^{N-1}A^H[k,n]t[k]$
• 酉变换需要满足的条件为A的逆矩阵等于其共轭对称矩阵$A^H = (A^T)^{*}, AA^H = I$
• eg1. 图像旋转矩阵
• eg2. PCA参数矩阵
• eg3. DFT傅里叶变换
• 2D unitary transform
  

2. Frequency Domain Extension

2.1 DCT离散余弦变换

• ad
  • 实数
  • 频率更小，与相同DFT相差两倍
  • 能够有效的对数据进行压缩，只在重要的频率域上系数有所聚集
  • 也能进行快速变换

2.2 Walsh Transform

• 由±1组成的棋盘图案，每一行均为basis function
• forward $W(i) = \frac{1}{N}\sum_{t = 0}^{N-1}Wal(i,t)f(t)$
• Inverse $f(t) = \sum_{i=0}^{N-1}Wal(i,t)W(i)$
• Hadamard Matrix Ordering(不满足$A*A^{H} = I$,差系数，所以能量发生改变；但能以简单的系数可表示图像)
  

2.3 Discrete Wavelet Transform (DWT)

• 为了描述某一可变“时间”内的频率的变化，傅里叶可进行带窗变换，但太宽或太窄均会影响最终的展示效果，因此提出了小波(有限振荡)变换，通过平移translate和scale缩放母小波来实现！！！
• Harr transform matrix
• 
  • AVE得到低频成分，并且可逆可继续拆分
  • DIFF得到高频成分
• 
  • 因此只需要最basic的的低频和全部高频我们就可以复原原信号
• 
  • 其中H1就可以作为母小波通过对其做平移和尺度变换就可以得到其他小波
• Mother wavelet母小波
  • $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi|^2dt = 1$
  • $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi|dt = 1$ 能量有限
  • $\int_{-\infty}^{\infty}\psi dt = 0$ 不改变信号本身自带的能量
• 1D-DWT
  
• 2D-DWT